Parties multiplicatives et idéaux premiers

Définition Soit A un anneau commutatif et unitaire ; on dit qu'une partie S de A est multiplicative (ou multiplicativement fermée) si, et seulement si, 1S et (x,y)SS xyS.

Exemple soit P un idéal de A. Alors par définition, P est idéal premier si, et seulement si, AP est une partie multiplicative de A.

Proposition Soit A un anneau commutatif et unitaire; soient un idéal de A et S une partie multiplicative de A. On suppose que S=. Alors il existe idéal premier de A tel que et S=.

Démonstration Soit W l'ensemble des idéaux I de A qui vérifient I et IS=.

• W est non vide car il contient .
• Montrons que l'ordre induit sur W par l'inclusion fait de W un ensemble inductif: Soit B une partie de (W). B est un ensemble constitué de sous ensembles de W. On suppose que B est totalement ordonné pour l'inclusion. Soit ; clairement, est, par construction, la borne supérieure de B ; reste à montrer que est dans W. Soit B, alors W , donc , et donc . Supposons maintenant que S ; alors il existe s dans S tel que , donc il existe B tel que s , et donc S , ce qui est absurde. Ainsi S=. est donc dans W, et l'ordre induit sur W par l'inclusion est bien inductif. Comme W est non vide et que l'ordre induit sur W par l'inclusion est inductif, le lemme de Zorn nous permet d'affirmer qu'il existe dans W un élément maximal pour cet ordre. Montrons que est premier et la démonstration sera achevée. Tout d'abord, est strict car AS (1AS) et donc AW. Supposons que ne soit pas premier. Alors, comme est strict, cela implique qu'il existe x et x' dans A tels que xx'. Le fait que x et x' soient hors de implique que : et que . Attention ces deux inclusions sont strictes. Comme est maximal dans W, on en déduit que et sont hors de W. Comme d'autre part il est clair que et que , le fait que et soient hors de W implique que et coupent S. Ainsi, il existe s et s' dans S, b et b' dans b, et a et a' dans A tels que : s=b+xa et s'=b'+a'x' . En faisant le produit membre à membre, on obtient : ss'=bb'+x'a'b'+aa'xx'. Dans cette égalité, chacun des termes de droite est clairement dans , donc le terme de droite est dans , et le terme de gauche est dans S (car S est une partie multiplicative) ; ainsi S , ce qui est absurde. Ainsi l'hypothèse : est non premier, est fausse.