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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Reconnaître un groupe d'ordre

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Reconnaître un groupe d'ordre

On notera que les critères ci-dessous couvrent immédiatement les cas $n\leq 15$ , sauf .

Hypothèses	Conclusion
premier	$G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
tout élément	$G\simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^q$
est d'ordre $\leq 2$
avec	$\exists H\subset G$
premier	$G\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times H$
	ou $G\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\rtimes H$
	(groupe diédral )
Sous-groupe d'indice	$A_{m}$ groupe
$S_{m}$	alterné
	si $q\not \equiv 1 (p)$
et premiers	alors $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
	sinon deux cas:
	- $G \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
	- $G\simeq \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\rtimes_\phi \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
	avec $o(\phi(1))=p$ dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$
	(un seul produit semi-direct non trivial
	possible, à isomorphisme près)
	$(Z/2\mathbb{Z})^3$ ou $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$
abélien	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$
non abélien	diédral
	ou quaternions
, premier	$G \simeq \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ ou $G\simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$