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Définition
Etant donnée  une mesure complexe sur  , on appelle
variation totale de ou mesure de la variation
totale de et on note  l'application
de l'ensemble des parties mesurables de dans
![$ [0,+\infty]$](/a/a/i/img145.png)
qui à  mesurable associe
 , le 
étant pris sur l'ensemble des partitions de .
Proposition
est une mesure.
Démonstration:
 Il est clair que
 .
Soit maintenant
 avec  dénombrable
une partition de . On va chercher à montrer que
 .
- Montrons tout d'abord que
 .
Pour cela on se donne
 , et on considère, pour tout  dans , une partition
 de  avec
(on peut trouver une telle partition, par définition de ).
On a alors
 .
En faisant tendre  vers 0 on obtient l'inégalité attendue.
- Montrons maintenant que
 .
Considérons une partition  de . Si on réussit
à montrer que la somme des
 est inférieur
ou égal à la somme des
 on aura gagné.
On considère alors
 . Les 
forment une nouvelle partition de . Par définition
de on sait que
 .
En sommant sur on obtient
Le résultat est ainsi prouvé. 
Notons que pour prouver ce résultat on utilise allègrement les permutations de sommes infinies lorsque la convergence est absolue.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
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