Espace séparé

Définition [Espace séparé] Un espace est séparé si pour toute paire de points on peut trouver un voisinage de et un voisinage de disjoints.

Théorème Soit .
Si n'est pas isolé et si est séparé, alors l'application a au plus une limite en .

Démonstration: On considère les voisinages respectifs de deux limites, et on considère l'intersection de leurs images inverses respectives; cette intersection est réduite à un singleton; or c'est un voisinage de .

Théorème Soient et deux applications continues ayant même ensemble de départ et même ensemble séparé d'arrivée. Alors est fermé.

L'hypothèse de séparation est nécéssaire (de même que dans le théorème suivant, même contre-exemple); considérer par exemple et deux applications de (muni de sa topologie usuelle) dans muni de la topologie grossière. est l'application nulle, est nulle sauf en 0; .

Démonstration: On montre que l'ensemble complémentaire est ouvert. Pour cela on considère dans ce complémentaire, et deux voisinages disjoints de et ; l'intersection des images réciproques de ces voisinages est un voisinage de qui montre que notre complémentaire est bien un voisinage de .

Corollaire Si et coïncident sur un ensemble dense et ont valeurs dans un espace séparé, alors elle coïncident partout.

Démonstration: Il suffit de se rappeler qu'un fermé est égal à son adhérence, et que l'adhérence d'un ensemble dense est l'espace tout entier.

Lemme Si est continue et injective, et si l'espace d'arrivée est séparé, alors l'espace de départ est aussi séparé.

Ce lemme servira à montrer le théorème

Démonstration: On considère deux points distincts de l'espace de départ, leurs images sont distinctes par l'injectivité, on peut les séparer par deux ouverts, d'images réciproques ouvertes. La suite est triviale.