Valeur d'adhérence

Définition [Valeur d'adhérence] Soit , avec et des espaces topologiques; on dit que est une valeur d'adhérence de en si et seulement si pour tout et tout on a .

Lemme L'ensemble des valeurs d'adhérence de en est donné par l'intersection des , pour voisinage de ; en particulier c'est un fermé.

Démonstration: Soit une valeur d'adhérence, alors par définition appartient à l'adhérence de pour tout voisinage de . La réciproque, tout aussi simple, est laissée de côté.

Corollaire Si n'est pas isolé, alors les limites sont des valeurs d'adhérence.

Démonstration: Clair.

Proposition [Le cas des suites] Soit une suite dans un espace topologique .
Les limites de suites extraites sont des valeurs d'adhérence
Si une valeur d'adhérence a une base dénombrable de voisinages, alors c'est la limite d'une suite extraite.

Démonstration:

l'infini n'est pas isolé pour la topologie usuelle de . Donc les limites d'une suite sont des valeurs d'adhérence. Et les valeurs d'adhérence d'une suite extraite sont clairement des valeurs d'adhérence de la suite.

Soit une suite de voisinages de , valeur d'adhérence de ; soit tel que soit inclus dans , tel que soit inclus dans et , tel que soit inclus dans et , et ainsi de suite...

Corollaire Dans un espace métrique, les valeurs d'adhérence d'une suite sont exactement les limites des sous-suites extraites.

Attention à l'hypothèse métrique! Dans le cas général, ce n'est pas vrai, voir .