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Exercice

Escargots et coquilles

16 avril 2024 14:09 — Par

Michel Quercia

Soient $A_{1},A_{2},\dots,A_n$ des évènements. On veut prouver la formule du crible : \[\mathbb P (A_{1}\cup \dots\cup A_n) = \sum_i\mathbb P (A_i) - \sum_{i<j}\mathbb P (A_i\cap A_j) + \sum_{i<j<k}\mathbb P (A_i\cap A_j\cap A_k) - \dots+ (-1)^{n-1}\mathbb P (A_{1}\cap \dots\cap A_n).\]
1. Traiter les cas $n=2$ et $n=3$.
2. Pour le cas général, on note $\mathbb 1 _A$ la fonction indicatrice de l’évènement $A$. Exprimer $\mathbb 1 _{\overline{A_{1}\cup \dots\cup A_n}}$ en fonction des $\mathbb 1 _{A_i}$ et calculer son espérance.
Soit $\sigma \in S_n$. On dit que $\sigma$ est un dérangement si $\sigma (i)\neq i$ pour tout $i$. Quelle est la probabilité qu’une permutation choise au hasard soit un dérangement ?
La société Burgundy Snail Inc. reçoit chaque semaine 6000 escargots vivants. Elle les fait bouillir ensemble dans une grande marmite ce qui a pour effet (entre autres) de détacher chaque escargot de sa coquille. Les escargots bouillis flottent à la surface et les coquilles tombent au fond de la marmite. Une chaîne de traitement récupère les escargots et les assaisonne ; une autre chaîne récupère les coquilles, les nettoie et les fait briller. Puis escargots et coquilles rejoignent une troisième chaîne qui place chaque escargot dans une coquille et les emballe par boîtes de 12. On demande :
1. La probabilité que chaque escargot se retrouve dans sa coquille d’origine.
2. La probabilité qu’aucun escargot ne se retrouve dans sa coquille d’origine.
3. La probabilité que chaque boite de 12 escargots contienne exactement un escargot qui est dans sa coquille d’origine.

Exercice

Limite de probabilités

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

Soit $(\mathbb P _k)_{k\in \mathbb{N}}$ une suite de probabilités sur $\mathbb{N}$ (avec la tribu $\mathcal P (\mathbb{N})$). On suppose que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, la suite $(\mathbb P _k(\{ n\} ))$ est convergente, de limite $p_n\in {[0,1]}$.

$\,$
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n\leq 1$.
2. Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que $1$.
On suppose que $\sum_{n\in \mathbb{N}}p_n=1$ et on pose pour $k,n\in \mathbb{N}$ : $a_{n,k} = \min(\mathbb P _k(\{ n\} ),p_n)$.
1. Montrer que $\sum_{n\in \mathbb{N}}a_{n,k}\to _{k\to \infty }1$ et en déduire $\sum_{n\in \mathbb{N}}|\mathbb P _k(\{ n\} )-p_n|\to _{k\to \infty }0$.
2. Pour $X\subset \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb P _k(X)\to _{k\to \infty }\sum_{n\in X}p_n$.
3. Prouver enfin que l’application $X\mapsto \lim_{k\to \infty }(\mathbb P _k(X))$ est une probabilité sur $\mathbb{N}$.

Exercice

$\mathbb P (k\mathbb{N})=1/k$ ?

16 avril 2024 14:12 — Par

Michel Quercia

On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité $\mathbb P$ sur $\mathbb{N}$ vérifiant : pour tout $k\in \mathbb{N}^*$, la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité $\mathbb P$ soit divisible par $k$ est égale à $1/k$. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit $\mathbb P$ une telle probabilité.

Montrer que si $k_{1},\dots,k_m$ sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements $A_i =$ $n$ est divisible par $k_i$ sont mutuellement indépendants.
Montrer que l’évènement $A =$ $n$ n’est divisible par aucun facteur premier est de probabilité nulle.
Généraliser et conclure.

Articles

Article

Marches aléatoires

26 juin 2022 15:30 — Par

CultureMath
Emmanuel Vieillard-Baron
Victor Rabiet

Article

Avancement des corrections

10 novembre 2021 18:35 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Guide pour les auteures et auteurs

24 novembre 2020 23:03 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Article

Partenariat avec Culturemath

24 novembre 2020 22:26 — Par

Emmanuel Vieillard-Baron

Forum

Le plagiat

20 avril 2024 16:28 — Par Congru

Dites-moi, j'aimerais faire un fil qui liste les plagiats commis par Albert Einstein, notamment la plagiat des travaux de Henri Poincaré. Est-ce que ça rentre dans les critères du Forum ?

Une égalité mystérieuse

20 avril 2024 16:22 — Par stfj

Bonjour,

Soit $p_1=2,p_2=3,p_3=5, p_4=7, p_5=11,...$ les nombres premiers.

Soit $$p_1\#:=p_1=2, p_2\#:=p_1\times p_2=2\times 3=6$$$$p_3\#:=p_1\times p_2\times p_3=2\times 3\times 5=30,...$$ les "primorielles".

J'ai récemment posé des questions au sujet de l'anneau $$\boxed{(\prod_{n=1}^{+\infty} \mathbb{Z} / p_n\mathbb Z,+,\times)} $$ où

$$\prod_p \mathbb{Z} / p=\mathbb Z/2\times \mathbb Z/3\times \mathbb Z/5\times \mathbb Z/7\times \mathbb Z/11\times...$$

________________________________

$$\varphi:\mathbb Z\to \prod_p \mathbb{Z} / p$$ $$n\mapsto (n,n,n,n,n,...)$$est un plongement de $\mathbb Z$, qui est injectif mais non surjectif.

___________________________

$$\prod_p \mathbb{Z} / p\approx \varprojlim(A_n,\varphi_n)$$

où $$\forall n\ge 1, A_n:=\mathbb Z/p_n\#\mathbb Z$$

En utilisant le théorème des restes chinois, ie l'isomorphisme $$\mathbb Z/2\times...\times \mathbb Z/p_n\approx A_n$$ $$\varphi_n((\xi_1,...,\xi_n)):=(\xi_1,...,\xi_{n-1})$$ où $x=(\xi_1,...,\xi_n)\in A_n$ …

Geogebra Linux

20 avril 2024 16:08 — Par rebellin

Bonjour,

Mon PC est sous Linux (Ubuntu). Je voudrais installer Geogebra 5 (ou 6), mais les liens semblent ne plus fonctionner. Sur le site https://doc.ubuntu-fr.org/geogebra, on trouve les instructions suivantes :

pour Geogebra 5, il faut télécharger une clé d'authentification, qui se trouve à l'adresse https://geogebra.net/ . Or cette adresse est introuvable.

pour Geogebra 6, il faut aller sur la page https://wiki.geogebra.org/fr/R%C3%A9f%C3%A9rence%3AInstallation_GeoGebra . Mais là aussi, les liens Linux ne fonctionnent plus. J'ai tout de même réussi à télécharger la version Portable, mais une fois décompressée, je ne sais pas quoi en faire...

Quelqu'un sait-il comment résoudre ce problème …

Convexes plats et adhérence

20 avril 2024 16:06 — Par raoul.S

Le but de cette petite devinette est de tester son intuition "géométrique". On se place dans un espace vectoriel normé $E$ et on se donne un convexe $C$ qui est "plat" (d'intérieur vide) et on se demande si son adhérence reste plate ?

Plus formellement : soit $C\subset E$ un convexe. Est-ce que $C^{°}=\emptyset$ entraîne $(\overline{C})^{°}=\emptyset$ si $\dim E$ est finie, infinie ? (où je note $C^{°}$ l'intérieur de $C$).

Quelques exemples au cas où : un segment de droite dans $\R^2$ est un convexe plat et son adhérence aussi. Un disque sans bord dans $\R^3$ est un convexe plat …

Cobars et Véto et espace projectif réel

20 avril 2024 16:05 — Par stfj

Bonjour,

Je connais le plongement d'un plan affine $P$ dans un espace vectoriel $\widehat{P}$(j'ai appris cela au début de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel.)

Soit $O$ l'origine de $\widehat{P}$. Soit $N\in \widehat{P}$

$(\vec {OA},\vec{OB},\vec{OC})$ ie $(A,B,C)$ forment une base de l'espace vectoriel réel à $3$ dimensions $\widehat{P}$. Donc $$\exists !(\alpha',\beta',\gamma')\in \mathbb R^3\text{ tel que }N=\alpha' A+\beta' B+\gamma' C$$

Les barycentres de $A,B,C$ affectés de coefficients correspondent aux $M\in P$ tels que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=1$$
________________________________________________
**Recherche:** Je recherche des exemples simples et parlants pour (me) montrer l'intérêt des coordonnées barycentriques
___________________________________
Pour montrer ce que cela m'évoque pour l'instant,

Exemple 1: …